Кратные эллиптические полилогарифмы. Общая теория и приложения

Полилогарифмы были введены Л. Эйлером и были популярным предметом исследования в XIX веке. Математика XX века сумела инкорпорировать их лишь в последней декаде благодаря пропаганде со стороны Дона Загира, введшего более общие кратные полилогарифмы. (Кратные) полилогарифмы были проинтерпретированы как периоды вариаций структур Ходжа–Тейта, Более того, всякий итерированный интеграл на проективной прямой выражается через кратные полилогарифмы. В теории чисел через однозначные версии полилогарифмы являются основным компонентом гипотетического выражения значения дзета-функции в целых точках.
(Кратные) полилогарифмы допускают обобщение на случай эллиптической кривой.
В докладе мы дадим определения кратных эллиптических полилогарифмов, что потребует несложной аналитики обычных кратных полилогарифмов и явного описания компактификации пространства модулей точек на проективной прямой.
Затем мы покажем что всякий итерированный интеграл выражаем через кратные эллиптические полилогарифмы. Для этого мы строим модель комплекса де Рама эллиптической кривой.
Во второй части мы обсудим числовые приложения. Формально они не связаны с первой частью, но концепция полилогарифмов является для них путеводной звездой. Мы обсудим формулы для значения в 2 дзета-функции гильбертова поля классов мнимоквадратичного поля а также L-функции модулярной эллиптической кривой.