|
СЕМИНАРЫ |
Научный семинар «Актуальные проблемы геометрии и механики» имени проф. В. В. Трофимова
|
|||
|
О топологических группах и их инвариантах А. В. Архангельскийab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Московское математическое общество |
|||
Аннотация: 1. Топологические группы представляют собой один из основных объектов топологической алгебры. Они описываются как комбинация на одном и том же множестве топологии и групповой структуры, подчиненная некоторым естественным требованиям непрерывности возникающих отображений квадрата этого множества на себя. Замечательным фактом является теорема Л. С. Понтрягина [1] о том, что каждая топологическая группа, являющаяся Теорема 1 (о дихотомии, 2008 г. [2]). Каждый нарост произвольной топологической группы в любом ее компактном хаусдорфовом расширении либо псевдокомпактен, либо линделёфов. Более того, у любой некомпактной группы либо все наросты линделёфовы, либо все они псевдокомпактны. При этом топологическое пространство линделёфово, если из каждого его открытого покрытия можно выделить не более чем счетное подподкрытие, и псевдокомпактно, если оно вполне регулярно (т. е. является подпространством компактного хаусдорфова пространства) и каждая непрерывная вещественная функция на нем ограничена. Псевдокомпактные линделёфовы пространства — это в точности компактные хаусдорфовы пространства. Напомним также, что топологическое пространство паракомпактно, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Паракомпактные перистые (линделёфовы перистые) топологические группы можно охарактеризовать как топологические группы, которые допускают замкнутый гомоморфизм с компактным ядром на метризуемую (сепарабельную метризуемую) топологическую группу. Теорема [1] имеет ряд следствий. Случай, когда все наросты линделёфовы, характеризуется так. Teoрема 2. Все наросты не локально компактной топологической группы псевдокомпактны в том и только том случае, если эта топологическая группа является линделёфовым перистым пространством. Отсюда следует, например, такой удивительный факт. Теорема 3. Для наростов не локально компактной топологической группы паракомпактность, полнота по Дьёдонне и линделёфовость равносильны. Таким образом, линделёфовость нароста не локально компактной топологической группы равносильна тому, что эта топологическая группа является линделёфовым перистым пространством. Сами наросты одной и той же топологической группы, конечно, могут быть негомеоморфными и даже иметь разную мощность (например, отрезок и окружность — компактные расширения прямой с двух- и одноточечными наростами соответственно). 2. В классе топологических групп многие топологические свойства ведут себя гораздо лучше, чем в классе топологических пространств. Возникают, в частности, некоторые теоремы об инвариантности этих свойств, которые не действуют в классе всех топологических пространств. Например, произведение псевдокомпактных топологических групп всегда является псевдокомпактной топологической группой — это теорема Комфорта и Росса (см. [3]), в то время как произведение двух псевдокомпактных пространств не обязательно псевдокомпактно. Возникают также новые импликации. Например, замечательна теорема М. Г. Ткаченко, обобщенная В. В. Успенским, которая говорит, что если топологическая группа 3. Одна из больших нерешенных общих проблем теории топологических групп состоит в следующем. Проблема. Дано топологическое свойство Заметим, что известна фундаментальная теорема выдающегося советского математика А. А. Маркова о том, что каждое тихоновское пространство является замкнутым подпространством некоторой топологической группы, а именно, своей свободной топологической группы [6]. Это дает ответ на поставленный выше вопрос в некоторых ситуациях. Теория топологических групп и их инвариантов свидетельствует, что топологическая алгебра имеет совершенно своеобразный вид в классе топологических групп и глубоко отличается от теории топологических инвариантов тихоновских топологических пространств вообще и имеет свои привлекательные задачи. [1] Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. — М.–Л.: ГОНТИ, 1938. [2] Arhangel'skii A. V. Two types of remainders of topological groups // Comment. Math. Univ. Carol. — 2008. — V. 49, No. 1. — P. 119–126. [3] Arhangel'skii A., Tkachenko M. Topological Groups and Related Structures. — Amsterdam–Paris: Atlantis Press / World Scientific, 2008. [4] Ткаченко М. Г. О свойстве Суслина в свободных топологических группах над бикомпактами // Матем. заметки. — Т. 34, № 4. — 1983. — C. 601–607. [5] Успенский В. В. О непрерывных образах линделёфовых топологических групп // ДАН СССР. — Т. 285, № 4. — С. 824–827. [6] Марков А. А. О свободных топологических группах // ДАН СССР. — Т. 31, № 4. — 1941. — С. 299–302. |