Однолистность $T$-симметрических многочленов типа Саффриджа степени $3T+1$

Одним из важнейших семейств однолистных в единичном круге многочленов являются многочлены Саффриджа, обладающие рядом экстремальных свойств в классе однолистных в $\mathbb{D}:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ многочленов. В своей недавней работе Дмитришин, Грей и Стоколос выдвинули гипотезу о том, что $T$-симметрические многочлены типа Саффриджа
$$ S_n^{(T)}(z):=z+\sum_{j=2}^n\Big(1-\frac{(j-1)T}{1+(n-1)T}\Big)\prod_{k=1}^{j-1}\frac{\sin\frac{\pi(2+T(k-1))}{2+T(n-1)}}{\sin\frac{\pi Tk}{2+T(n-1)}}z^{T(j-1)+1} $$
однолистны и, более того, наследуют экстремальные свойства многочленов Саффриджа в классе $T$-симметрических однолистных в $\mathbb{D}$ многочленов. Мы покажем, что $S_4^{(T)}$ действительно однолистны в $\mathbb{D}$ и как следствие получим их квази-экстремальность в смысле С. Рущевейха.