Аннотация:
Пусть узел $K$ получен из зацепления $L$ соединением всех компонент ленточками. Выбор ленточек равносилен представлению $L$ в виде замыкания струнного зацепления $S$. Дж. Левин (1997) показал, что частное полиномов Конвея $\nabla_L/\nabla_K$
допускает описание в терминах $\mu$-инвариантов струнного зацепления $S$ и в частности является инвариантом его конкордантности. Кирк, Ливингстон и Ван (1998) дали описание того же частного $\nabla_L/\nabla_K$ в терминах представления Бюрау струнного зацепления $S$ (обобщение их результата на случай полинома Александера от $n$ переменных обсуждалось на этом семинаре ранее, см. https://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=28922).
В докладе речь пойдёт о доказательстве результата Т. Цукамото и А. Ясухары (https://arxiv.org/abs/math/0405481), описывающего частное $\nabla_L/\nabla_K$ в терминах спаривания Кохрана, обобщающего $\eta$-функцию Кодзимы. Если $K_1$ и $K_2$ — непересекающиеся узлы, лежащие в дополнении к некоторой фиксированной поверхности Зайферта $F$ узла $K$, то их спаривание Кохрана $\left<K_1,K_2\right>$ — это формально бесконечная, но на самом деле конечная формальная сумма $\sum_{k=-\infty}^\infty\text{lk}(\tilde K_1,\tau^k\tilde K_2)t^k$, где $\tilde K_i$ — поднятия узлов $K_i$ в один и тот же лист бесконечного циклического накрытия $X$ дополнения $S^3\setminus K$, а $\tau$ — образующая группы его накрывающих преобразований. Здесь выражение «один и тот же лист» имеет смысл благодаря фиксации поверхности $F$, а коэффициент зацепления $\text{lk}$ имеет обычный смысл, если узел $K$ тривиальный (и тем самым $X\cong\mathbb R^3$), а в общем случае определяется с использованием известного факта, что любой одномерный цикл в $X$ становится нульгомологичным после домножения на полином Александера узла $K$. Если в качестве $K_2$ берётся параллельный сдвиг $K_1^+$ узла $K_1$, то их спаривание Кохрана $\left<K_1,K_1^+\right>$ не зависит от выбора поверхности Зайферта $F$ и известно как $\eta$-функция Кодзимы зацепления $(K,K_1)$.
Основная часть доказательства теоремы Цукамото–Ясухары состоит в доказательстве формулы Й. Пржитицкого и А. Ясухары (теорема 4.1 в https://www.ams.org/journals/tran/2004-356-09/S0002-9947-04-03423-3/), дающей выражение для спаривания Кохрана в терминах матрицы Зайферта.
Подключение к Zoom: https://zoom.us/j/97302991744 Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)
