Конструктивные асимптотики в задачах о заплеске волн на пологий берег в рамках нелинейных уравнений мелкой воды

Изучается вопрос о заплеске длинных волн относительно небольшой амплитуды на пологий берег. Задача решается в рамках нелинейной системы уравнений мелкой воды в одно- или двумерной области. Предполагается, что функция D(x,y), задающая глубину бассейна, гладкая, причем ее градиент не обращается в нуль на множестве D=0 (т.е. на береговой линии бассейна при отсутствии волн). Малость амплитуды характеризуется малым параметр є. Одна из основных сложностей задачи, состоит в наличии в ней свободной границы даже в случае необрушающихся волн (такая ситуация часто встречается в задачах о волнах цунами).
Для построения асимптотических решений задачи Коши с малыми гладкими начальными данными для нелинейной системы уравнений мелкой воды используется замена переменных (типа упрощенного преобразования Карриера-Гринспана), зависящая от самого неизвестного решения и преобразующая область, в которой последнее определено, в независящую от решения невозмущенную область. Затем полученная нелинейная система решается стандартными методами теории возмущений. В качестве нулевого приближения возникает линейная гиперболическая система с вырождением на границе области. Один из основных результатов доклада формулируется следующим образом.
При указанных выше предположениях относительно функции глубины нелинейная система уравнений мелкой воды с малыми начальными данными имеет асимптотическое решение с точностью до сколь угодно высокой степени малого параметра є. Это асимптотическое решение асимптотически единственно. Главный член асимптотики конструктивно выражается через решение линейной задачи в параметрической форме.