Аннотация:
Если $A$ — случайное событие, то условные математические ожидания $X,Y$ его индикатора относительно
некоторых подалгебр называются когерентными. Пусть $X,Y$ — когерентные и независимые случайные величины.
К. Бурди и Дж. Питман выдвинули гипотезу о максимально возможном разбросе $f(\delta):=\mathrm{prob}\,(|X-Y|\geqslant \delta)$
таких случайных величин: $f(\delta)=1$ при $\delta\leqslant 1/2$ и $f(\delta)=2\delta(1-\delta)$ при $\delta\in (1/2,1]$.
Комбинаторно эта задача по существу эквивалентна такой: каково наибольшее возможное количество пар
вершин из разных долей двудольного графа, имеющего по $n$ вершин в каждой доле, степени которых отличаются
не менее чем на $k$. В недавней работе С. Цихомского и докладчика этот вопрос был решён развитием идей из работы
Эрдёша, Чена, Руссо и Шелпа о разбросе степеней в произвольном графе.
|
