Аннотация:
Рассматриваются эллиптические функционально-дифференциальные уравнения с
преобразованиями растяжения (сжатия) аргументов старших производных неизвестной
функции. В ряде случаев свойства таких уравнений демонстрируют неустойчивость по
отношению к величине коэффициентов сжатия. Это происходит, в частности, в следующих
ситуациях.
1) Уравнения, в которых все параметры сжатия (растяжения) мультипликативно
соизмеримы (являются целыми степенями, как положительными, так и отрицательными,
одного и того же параметра $q > 1$). «Предельное» дифференциальное уравнение, в котором
положено $q = 1$, может быть сильно эллиптическим, но исходное функциональнодифференциальное уравнение не будет сильно эллиптическим ни при каком значении $q$, сколь угодно близком к 1.
2) Уравнения, в которых в старшей части присутствуют слагаемые с различными
параметрами сжатия $p > 1$ и $q > 1$. Сильная эллиптичность устойчива по отношению к
малым возмущениям этих параметров в окрестности их мультипликативно несоизмеримых
значений, и неустойчива в противном случае. Возмущение одного из этих параметров
может привести к существенному изменению свойств краевой задачи (появлению
бесконечномерного ядра и негладких решений) независимо от того, насколько мал
коэффициент при соответствующем слагаемом в уравнении.
3) Уравнения, в которых присутствуют комбинации сжатия и сдвигов аргументов
старших производных. Условия, обеспечивающие однозначную разрешимость и гладкость
решений краевой задачи, формулируются при помощи спектрального радиуса
соответствующего функционального оператора (условия носят характер достаточных,
однако их нарушение также может привести к возникновению бесконечномерного ядра и
негладких решений). Оказывается, значение этого спектрального радиуса зависит от того,
является ли коэффициент сжатия числом трансцендентным или алгебраическим, а в случае
алгебраического числа – от того, каковы коэффициенты его минимального многочлена.
|
