Об оценке преобразования Стилтьеса спектральной меры вблизи вещественной оси и оценки скорости сходимости в полукруговом законе и законе Марченко–Пастура

Пусть $\mathbf X=(X_{jk})$ — эрмитова случайная матрица с независимыми (с точностью до эрмитовости) элементами. Мы рассматриваем скорость сходимости спектральной функции распределения матрицы $\mathbf X$ к полукруговому закону, предполагая, что $\mathbb E X_{jk}=0$, $\mathbb E X_{jk}^2=1$ и распределение матричных элементов $X_{jk}$ имеет субэкспоненциальные хвосты, т.е. существует постоянная $\varkappa>0$ такая, что для всех $1\le j\le k\le n$ и любого $t\ge 1$
$$ \mathbf P\{|X_{jk}|>t\}\le \varkappa^{-1}\exp\{-t^{\varkappa}\}. $$
Используя простые рекурсивные оценки преобразования Стилтьеса вблизи вещественной оси, мы покажем, что расстояние по Колмогорову между эмпирической спектральной функцией распределения вигнеровской матрицы $\mathbf W=\frac1{\sqrt n}\mathbf X$ и полукруговым законом имеет порядок $O(n^{-1}\log^b n)$ с некоторой положительной постоянной $b>0$.