Аннотация:
Если $X$ — векторное пространство, то тензор порядка $k$ вида $u_1\otimes u_2\otimes \ldots \otimes u_k$, где $u_i\in X$ при всех $i$, называется разложимым. Наименьшее число разложимых тензоров, суммой которых является данный тензор порядка $k$, называют его тензорным рангом. При $k=2$ тензоры можно отождествить с матрицами, и тензорный ранг тогда совпадает с обычным матричным рангом. При $k>2$ это понятие гораздо более затейливо: понять по данному разложению тензора на разложимые, является ли оно минимальным, во всех отношениях непросто. Одним из самых известных общих результатов в этом направлении является теорема Крускала, дающая достаточное условие минимальности данного тензорного разложения. В недавней работе докладчика с Б.Ловитцем с помощью технологии ушного разложения матроида было получено далёкое обобщение этой теоремы и много следствий из неё.
|
