Аннотация:
Метод сдвига аргумента — известный метод получения пуассоново-коммутативных подалгебр в алгебре гладких функций $C^\infty(X)$ пуассоновского многообразия $X$. Он основан на наблюдении, что если векторное поле $\xi$ и бивектор Пуассона $\pi$ на $X$ удовлетворяют условиям
$$
\mathcal L_\xi\pi\neq0,\ \mathcal L_\xi^2\pi=0,
$$
(здесь $\mathcal L_\xi$ обозначает производную Ли), то элементы $\mathcal L_\xi^p(f)$ коммутируют друг с другом по Пуассону для всех $p\ge0$ и всех гладких функций Казимира $f$. Например, если $X=\mathfrak g^*$ (двойственное пространство алгебры Ли) и структура Пуассона является канонической структурой Ли–Пуассона на $\mathfrak g^*$, то постоянное относительно аффинных координат на $\mathfrak g^*$ векторное поле $\xi$ удовлетворяет указанным условиям. Эту ситуацию впервые рассмотрели Мищенко и Фоменко; для постоянного векторного поля $\xi$ общего положения этот метод дает максимальную пуассоново-коммутативную подалгебру $A_\xi$ в симметричной алгебре $S(\mathfrak g)$; $A_\xi$ часто называют алгеброй Мищенко–Фоменко.
В 1991 году Э. Б. Винберг задался вопросом, можно ли найти в универсальной обертывающей алгебре $U\mathfrak g$ коммутативную подалгебру $\hat A_\xi$ такую, что образ $\hat A_\xi$ в $S\mathfrak g$ при каноническом изоморфизме ассоциированной градуированной алгебры $U\mathfrak g$ и $S\mathfrak g$ будет равна $A_\xi$. Этот вопрос решался разными людьми, наиболее известной конструкцией квантовой алгебры Мищенко–Фоменко $\hat A_\xi$ является конструкция Рыбникова. Однако найти в алгебре Рыбникова элемент, который будет соответствовать данному $\xi^p(f)$ в $A_\xi$, непросто.
В своем докладе я опишу метод квантования элементов $\xi^p(f)$ (т.е. поднятия их в $\hat A_\xi\subset U\mathfrak g$) для $\mathfrak g=\mathfrak{gl} _d$, основанный на систематическом использовании квазидифференцирований Гуревича, Пятова и Сапонова $\hat\xi$ на $U\mathfrak{gl}_d$ вместо обычной производной по направлению $\xi$ (мы предполагаем, что коэффициенты при $\hat\xi$ совпадают с коэффициентами при $\xi$), а именно:
Теорема. Пусть $\hat f\in U\mathfrak{gl}_d$ центральный элемент, $p\ge0$; тогда элемент $\hat\xi^p(\hat f)$ принадлежит квантовой алгебре Мищенко–Фоменко $A_\xi$. В частности, все такие элементы коммутируют друг с другом.
Доклад основан на совместной работе с Ясуси Икедой, arXiv:2307.15952.
|
