Решение задачи Римана, возникающей при моделировании возмущения плазмы электрическим полем

Рассматривается модель воздействия электрического поля на слой плазмы, основанная на системе уравнений Больцмана — Максвелла. В качестве невозмущенной плотности распределения заряженных частиц принимается функция Ферми — Дирака или Максвелла. Для описания состояния плазмы в предположении малой амплитуды внешнего электрического поля возникает следующая краевая задача для системы интегро–дифференциальных уравнений:
\begin{equation} v f_x(x,v) + \alpha f(x,v)=v g(x)+ \int_{-\infty}^{\infty}k(\xi)f(x,\xi)d\xi, \label{Gordeeva_1} \end{equation}

\begin{equation} g_x(x)=\beta \int_{-\infty}^{\infty}k(\xi)f(x,\xi)d\xi, \label{Gordeeva_2} \end{equation}

\begin{equation} f(l,v)=f(l,-v), \quad f(-l,v)=f(-l,-v),\qquad g(l)=1, \quad g(-l)=1. \label{Gordeeva_3} \end{equation}
Уравнения (\ref{Gordeeva_1}), (\ref{Gordeeva_2}) рассматриваются в полосе $\{x\in (-l,l), v \in (-\infty,+\infty)\}$, искомые величины $f(x,v)$ и $g(x)$ являются возмущениями функции распределения электронов и напряженности электрического поля, а переменные $(x, v)$ имеют смысл координаты и скорости. Комплексный и вещественный параметры $\alpha$ и $\beta$ характеризуют свойства плазмы и приложенное внешнее поле, а функция $k(\xi)$, выражаемая через невозмущенную функцию распределения электронов, удовлетворяет соотношению
$$ \int_{-\infty}^{\infty}k(\xi)d\xi=1. $$

В работе построено аналитическое представление для решения системы уравнений (1), (2) в виде интеграла с некоторой плотностью $\mathscr S(\lambda)$. Учет краевых условий (3) сводит нахождение функции $\mathscr S(\lambda)$ к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на вещественной прямой $\lambda\in(-\infty,+\infty)$. Для решения этого интегрального уравнения использован метод Ф .Д. Гахова и Н.И. Мусхелишвили, основанный на применении задачи Римана линейного сопряжения. Представлены результаты численной реализации построенного решения и исследована его зависимость от параметров $\alpha$ и $\beta$ задачи (1)–(3).