Аннотация:
Получены явные оценки порядка $\gamma^{-d}$ для фрактальной
размерности аттрактора нелинейного волнового уравнения (или
системы) в ограниченной области $\Omega\subset \mathbb R^d$,
$d\ge1$ с линейным диссипативным слагаемым с коэффициентом
$\gamma>0$.
Ключевую роль в случае $d\ge3$ играют
оценки Либа для $L_p$-норм систем с ортонормированными
градиентами, основанные на использовании неравенства
Цвикеля–Либа–Розенблюма (CLR) для отрицательных собственных
значений оператора Шрединдера. Случаи $d=1,2$ на удивление гораздо
сложнее. Нижние оценки того же порядка для размерности аттрактора
получены также для нелинейной гиперболической системы с
нелинейностью, содержащей небольшой член неградиентного возмущения,
что означает, что в этом случае наши оценки оптимальны (при
$d\ge3$). Чисто градиентный случай принципиальным образом
отличается. В частности, оказывается, что ляпуновская размерность
нетривиального аттрактора имеет порядок $\gamma^{-1}$ во всех
пространственных размерностях $d\ge1$.
