Аннотация:
Пусть $\Omega$ - ограниченная область на плоскости, $L=-\Delta$ -
оператора Лапласа с условием Дирихле на $\partial \Omega$,
$\sigma(L)=\{\lambda_1,\lambda_2,...\}$ - его спектр. Как
известно, спектр не определяет область однозначно (с точностью
до изометрии). Нельзя ли дополнить спектр какими-либо данными,
чтобы добиться однозначности?
Пусть $K\subset L_2(\Omega)$ есть подпространство гармонических
функций, $F: L_2(\Omega) \to l_2$ - преобразование Фурье,
диагонализующее оператор Лапласа: $FLF* = diag{\lambda_1,...}$.
Пусть $FK$ есть Фурье-образ гармонического подпространства. Мы
показываем, что для широкого класса областей пара $\sigma(L),FK$
определяет $\Omega$ с точностью до изометрии. Результат
обобщается на компактные Римановы многообразия с краем.
Обсуждается связь задачи с теорией расширений М.Г.Крейна и
высказывается ряд гипотез.
|
