Аннотация:
Пример нормирования на пространстве ростков функций двух переменных
— порядок функции на фиксированном ростке неприводимой кривой $C$. Его ряд
Пуанкаре — производящий ряд размерностей факторпространств в фильтрации,
состоящей из подпространств функций, для которых величина нормирования
не меньше данной. (Имеется обобщение понятия ряда Пуанкаре на наборы
нормирований.) Как оказалось, ряд Пуанкаре описанного нормирования
на пространстве ростков голоморфных функций двух переменных
по сути совпадает с многочленом Александера соответствующего алгебраического
узла: пересечения кривой $C$ с маленькой (трёхмерной) сферой с центром в
начале координат (и поэтому определяет его топологию).
В случае, если описанное нормирование рассматривается на пространстве
ростков вещественно аналитических функций, ситуация существенно отличается
от той, которая имеет место в комплексном случае. В частности, возникают
другие аналоги рядов Пуанкаре. Будут описаны ряды Пуанкаре для указанного
нормирования в этом случае и обсуждено, насколько они определяют геометрию
разрешения кривой. В частности, насколько ряд Пуанкаре нормирования на
пространстве вещественных функций определяет вещественную топологию кривой.
