Собственные значения и собственные функции локально конечных графов

Граф называется локально конечным, если степени всех его вершин конечны. Для локально конечного графа $\Gamma$ и поля $F$ собственными значениями и соответствующими им собственными функциями $\Gamma$ над $F$ называются собственные значения и соответствующие им собственные функции матрицы смежности графа $\Gamma$ над полем $F$, действующей естественным образом на пространстве всех $F$-значных функций на множестве вершин графа $\Gamma$. Имеется весьма развитая теория собственных значений и собственных функций конечных графов (по крайней мере, для случая поля $ \mathbf{C}$). Однако есть целый ряд областей математики, для которых представляют интерес собственные значения и собственные функции бесконечных локально конечных связных графов. В докладе излагаются результаты разработанной нами теории собственных значений и собственных функций таких графов. Большее внимание при этом будет уделено случаю поля нулевой характеристики и, особенно, случаям полей $\mathbf{C}$ и ${\mathbf Q}(x)$. Одно из следствий теории: если char$(F) = 0$, то произвольный трансцендентный над простым подполем элемент поля $F$ является собственным значением (над $F$) любого бесконечного локально конечного связного графа.