Представляющие системы из воспроизводящих ядер в пространствах Харди

Система элементов $\{x_n\}_n$ бесконечномерного топологического векторного пространства $X$ называется представляющей для $X$, если любой элемент пространства раскладывается в сходящийся ряд по элементам $x_n$ с некоторыми коэффициентами. Изучение представляющих систем началось с работ A.Ф. Леонтьева [1], который доказал, в частности, что любую аналитическую функцию в ограниченной выпуклой области можно представить рядом экспонент (показатели экспонент зависят только от области). Представляющие системы хорошо изучены в контексте пространств Фреше, однако в банаховой и гильбертовой ситуации они не изучались до недавнего времени. В 2018 году E. Fricain, L. H. Khoi и P. Lefevre [2] задали вопрос об описании гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром, которые допускают представляющие системы из воспроизводящих ядер. Ими же было показано, что многие классические пространства аналитических функций в круге (Бергмана, Харди, Дирихле и некоторые другие) не допускают абсолютно представляющих систем из воспроизводящих ядер. Вопрос о существовании представляющих систем оставался открытым. В 2018-2019 году П.А. Терёхиным и К.С. Сперанским были построены представляющие системы из воспроизводящих ядер в пространстве Харди $H^2(\mathbb{D})$ [3,4]. В докладе предполагается обсудить обобщение результатов П.А. Терёхина и К.С. Сперанского на случай произвольного показателя $p \in [1, \infty]$, а также описать элементарную конструкцию построения представляющих систем из воспроизводящих ядер в пространствах Харди $H^2$ в шаре и полидиске, представляющих систем из воспроизводящих ядер в некотором классе весовых пространств Харди в круге. Доклад основан на совместной работе c А.Д. Барановым [5].