О минимуме случайного блуждания, сосредоточенного на неотрицательной полуоси

Пусть
\begin{equation*} S_{0}=0,\quad S_{n}=X_{1}+...+X_{n},\ n\geq 1, \end{equation*}
– случайное блуждание, приращения которого принадлежат без центрирования области притяжения устойчивого распределения, а $a_{n}$ – нормирующие константы, обеспечивающие сходимость при $n\rightarrow \infty $ распределений последовательности $\{S_{n}/a_{n},n=1,2,...\}$ к этому устойчивому распределению. Пусть $L_{r,n}=\min_{r\leq m\leq n}S_{m}$ – минимум случайного блуждания на интервале $[r,n]$. Показано, что в зависимости от соотношений между параметрами $r,k$ и $n$ предел
\begin{equation*} \lim_{n,r,k\rightarrow \infty }\mathbf{P}\left( L_{r,n}\leq ya_{k}|S_{n}\leq ta_{k},L_{0,n}\geq 0\right) ,\quad t\in (0,\infty ), \end{equation*}
может иметь пять различных выражений.
Полученные результаты используются для изучения распределения числа частиц в критическом редуцированном ветвящемся процессе в случайной среде