RUS  ENG
Полная версия
СЕМИНАРЫ



Φ-неравенства Мазьи на областях

Д. М. Столяров

Санкт-Петербургский государственный университет



Аннотация: Доклад посвящён специальному классу неравенств в духе теоремы вложения Соболева для предельного показателя, в которых ключевую роль играет векторная природа функций и дифференциальных операторов. Иногда этот класс называют неравенствами Бургейна–Брезиса. Рассмотрим следующую версию теоремы вложения Соболева для предельного показателя: $||\nabla f||_{L_{d/(d-1)}} \lesssim ||\nabla f||_{L_1}$, мы рассматриваем гладкие функции $f$ с компактным носителем в пространстве $\mathbb{R}^d$, а значок $\lesssim$ указывает, что мультипликативная постоянная в неравенстве не зависит от выбора функции $f$. Это неравенство неверно (не стоит путать его с вложением Гальярдо–Ниренберга–Соболева $||f||_{L_{d/(d-1)}} \lesssim ||\nabla f||_{L_1}$, которое верно). В 2010 году В. Г. Мазья в качестве гипотезы предложил нелинейную модификацию упомянутого неверного неравенства: пусть теперь $\Phi: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ — положительно однородная степени $d/(d-1)$ функция; в таком случае,
$$ \biggl|\int\limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(\nabla f(x))\,dx \biggr| \lesssim ||\Delta f||^{\frac{d}{d-1}}_{L_1} , $$
коль скоро $\Phi$ удовлетворяет условию сокращения $\int_{S^{d-1}} \Phi(\zeta)\,d\sigma(\zeta)=0$; символом $S^{d-1}$ обозначена единичная сфера в пространстве $\mathbb{R}^d$. В 2021 году мне удалось доказать гипотезу Мазьи и если угодно, развить теорию неравенств более общего вида
$$ \biggl|\int\limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(K * g(x))\,dx \biggr| \lesssim ||g||^{\frac{d}{d-\alpha}}_{L_1} , $$
где $K$ — однородное степени $\alpha - d$ ядро, а функция $\Phi$ однородна степени $d/(d - \alpha)$.
В настоящем докладе я расскажу о распространении этих результатов на общность функций, заданных на областях с приличной границей, а также о любопытных задачах о продолжении гармонических и субгармонических функций, в этой связи возникающих.
Работа поддержана грантом РНФ 24-71-10011


© МИАН, 2024