Спектральная теория операторов типа Шредингера на периодическом квантовом графе Экснера

Квантовые (или метрические) графы — это естественный класс физических систем, промежуточный между решетками Z^d с решетчатыми гамильтонианами и непрерывными моделями с фазовым пространством R^d и классическими операторами Шредингера H = -Δ + σV(x) на L^2(R^d). В своей простейшей форме такой граф Γ^d представляет собой кубическую решетку Z^d с одномерными ребрами, соединяющими соседние вершины. Ребра снабжены евклидовой метрикой, они соединены условиями склеивания Кирхгофа в вершинах. П. Экснер ввел этот тип графов и операторов в 60-х годах до развития общей теории. Эта тема сегодня популярна в основном из-за приложений для оптических компьютеров. Одним из наиболее важных свойств соответствующих периодических гамильтонианов является существование бесконечно большого числа спектральных разрывов. Это означает, что такие графы демонстрируют (в отличие от классической теории в R^d, d≥2) свойства полупроводника для произвольных высоких частот. Доклад будет содержать обзор недавних результатов о структуре броуновского движения на Γ^d и о спектрах операторов типа Шредингера с уменьшающимися или увеличивающимися (стремящимся к бесконечности) потенциалами. Наиболее интересными (вероятно) являются теоремы о точечном спектре (локализации) внутри спектральных разрывов при случайных возмущениях.