Переходные явления в ветвящихся процессах в случайной среде: критический и докритический случаи

Пусть $\{Z_n, n \in \mathbb{N}_0\}$ – критический ветвящийся процесс в случайной среде $\Xi$. Для изучения переходных явлений рассмотрим возмущение этого процесса, задаваемое с помощью схемы серий ветвящихся процессов $\{Z_{k,n}, k \leq n\}$ при той же случайной среде $\Xi$. Обозначим через $b_{k,n}$, $k \leq n$, разность сопровождающих случайных блужданий $Z_{k,n}$ и $Z_k$.
В докладе будет показано, что если $b_{k,n} = o(\sqrt{k})$ при $k \to \infty$, то справедливо соотношение
\begin{equation} \label{eq1} \mathsf{P}\left(Z_{n,n} > 0\right) \sim \mathsf{P}\left(Z_n > 0\right), \; n \to \infty. \end{equation}

Однако если для некоторой неотрицательной функции $g(x)$, $x \in [0, 1]$, при всех $k \leq n$ выполнено тождество $b_{k,n} = - g(k / n) \sqrt{n}$, то соотношение \eqref{eq1} неверно, и имеет место асимптотика
\begin{equation} \label{eq2} \mathsf{P}\left(Z_{n,n} > 0\right) \sim \gamma \mathsf{P}\left(Z_n > 0\right), \; n \to \infty, \end{equation}
где величина $\gamma \in (0, 1)$ зависит от функции $g(x)$, $x \in [0, 1]$.