Аннотация:
Рассмотрим гладкое ориентируемое двумерное многообразие и гладкое векторное поле на нём. Гиперболическим полициклом называется вложенный ориентированный граф, вершины которого - гиперболические сёдла, а рёбра - сепаратрисные связки этих сёдел. При малом возмущении данного полицикла могут родиться предельные циклы, то есть периодические траектории, изолированные от остальных периодических траекторий.
Вопрос о количестве рождающихся предельных циклов (так называемая цикличность) из гиперболических полициклов является частным случаем проблемы Гильберта-Арнольда. Разумной (полиномиальной) оценки на цикличность полицикла из n сёдел для любого n нет до сих пор. Однако если ограничиться кратными предельными циклами, то есть теми, что при возмущении распадаются на несколько циклов, то оказывается, что они более податливы для исследования, и описание их поведения выливается в стройную теорию. Красота теории заключается в том, что стартуя с задачи, сформулированной в терминах дифференциальных уравнений, мы в итоге попадаем в коммутативную алгебру, где исследуем многочлены.
|
