Мини-курс лекций по современному анализу: «Скалярные законы сохранения: классические и современные аспекты фундаментальной теории и приложения к математическому моделированию неоднородных задач». Лекция 2.

Мини-курс посвящен изложению основных аспектов теории скалярных законов сохранения, и в некоторой степени также и технически тесно связанных с ними скалярных задач типа конвекции-диффузии. В первой части курса будут кратко описаны невозможность построения классической теории; задача Римана и простые решения типа волн сжатия и разрежения и ударных волн (“наивные теории”) * энтропийная формулировка С.Н. Кружкова и его классическая техника удвоения переменных (откуда выводится единственность “допустимых” слабых решений) основные классические способы построения энтропийных решений, как то вязкий предел, алгоритм “смотрящего за волнами” К. Дафермоса, разностные схемы типа Крэндалла-Майды, а также современные подходы как то дискретизация типа “игра в догонялки” и вопрос о нелокальной аппроксимации (из этого выводится не только существование энтропийных или обобщенных энтропийных решений, но и состоятельность самого понятия допустимости) технические вопросы предкомпактности и своеобразной регулярности решений (например, результаты Е.Ю. Панова о существовании следа энтропийного решения на границе области), тесно связанные с кинетической формулировкой Пертама и др. Будет кратко рассказано какие подходы и в какой степени годятся для построения фрагментов теории гиперболических систем. * Молодым слушателям рекомендуется перед лекциями полистать учебное пособие “Уравнения с частными производными 1 порядка” А.Н. Горицкого, С.Н. Кружкова и Г.А. Чечкина (изд. Мехмата МГУ 1999г.), доступное в интернете, или его перевод на английский (De Gruyter Proceedings in Mathematics, De Gruyter, pp. 1-68, 2009, Analytical and Numerical Aspects of Partial Differential Equations, DOI: 10.1515/9783110212105.1) доступный по ссылке https://hal.science/hal-00363287.
Во второй части курса** будет рассказано о проблемах связанных с неоднородностью потока в скалярном законе сохранения и о математических моделях в которых такая неоднородность играет важную роль. Будут обсуждены: краевые задачи, формулировка Бардоса-ЛеРу-Неделека, её геометрическая интерпретация и интерпретация “по Годунову” простейшая задача (точнее, задачи) с разрывным потоком, допустимость на разрыве потока с точки зрения моделирования и её математическое описание более общая постановка, включая задачи со свободной границей, и их дискретизация в духе С.К. Годунова разнообразные приложения к моделированию транспортных и пешеходных потоков ** Эта часть курса основана на работах лектора и соавторов (с 2010 по настоящее время); с ключевыми идеями слушатели могут ознакомиться в обзорной статье B. Andreianov. New approaches to describing admissibility of solutions of scalar conservation laws with discontinuous flux. ESAIM : Proc. and Surveys 50 (2015), pp.40-65, DOI: dx.doi.org/10.1051/proc/201550003 доступной также по ссылке http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00940756