Пересечения фрактальных k-кубов

Рассматриваются фрактальные k-кубы и структура пересечения пары фрактальных k-кубов. 1) Получено представление пересечения пары фрактальных k-кубов с разными множествами единиц в виде системы уравнений в терминах множеств единиц этих фрактальных k-кубов. 2) Найдены условия, при которых такое пересечение будет одноточечным, конечным, счётным и несчётным, а также дана оценка мощности при конечном пересечении. Эти результаты дают описание самоподобной границы фрактального k-куба. 3) Получен алгоритм, позволяющий проверить, является ли фрактальный k-куб дендритом с одноточечным пересечением.
Были отдельно рассмотрены односвязные фрактальные квадраты. 4) Было доказано, что нетривиальные односвязные фрактальные квадраты являются дендритами со свойством одноточечного пересечения. Как следствие, фрактальный квадрат является дендритом тогда и только тогда, когда его двудольный граф пересечения является деревом. 5) У таких фрактальных квадратов были рассмотрены их самоподобная граница, порядки ветвления точек и главное дерево. Самоподобная граница нетривиального односвязного фрактального квадрата может состоять из 3, 4 или 6 точек. 6) Доказано, что нетривиальные односвязные фрактальные квадраты допускают ровно семь возможных топологических типов главного дерева. Таким образом тип главного дерева является удобным признаком для классификации односвязных фрактальных квадратов.