Аннотация:
Пусть $\mathcal{Z} = (Z_n, n \geq 0)$ есть ветвящийся процесс в случайной среде (ВПСС).
В 2020 году А.В. Шкляевым получена точная асимптотика вероятностей больших уклонений для $\ln Z_n$ в интегро-локальном и интегральном виде, а также показана связь с распределением сопровождающего блуждания.
Приблизительно в то же время в работах D. Buraczewski, P. Dyszewski и Е.И. Прокопенко, М.А. Струлевой другими методами были получены схожие результаты.
Мы же рассмотрим ветвящийся процесс в случайной среде с замораживанием (ВПССЗ), предложенный В.А. Ватутиным и введенный И.Д. Коршуновым в 2023 году.
ВПССЗ отличается от обычного ВПСС тем, что каждое значение среды определяется на несколько поколений.
Для получения асимптотики вероятностей больших уклонений для ВПССЗ рассмотрим более общую модель.
Пусть $\{\zeta_i, i \in \mathbb{N}\}$
– независимые одинаково распределённые нерешётчатые случайные величины,
$\{\tau_i, i \in \mathbb{N}\}$ – положительная целочисленная ограниченная детерминированная последовательность.
Определим при каждом фиксированном $n$ величину $k(n)$ соотношением
$$
k(n) = \max\{j: \tau_1 + \dotsb + \tau_{j-1} < n\}.
$$
Случайной рекуррентной последовательностью называется последовательность $Y_n$, заданная уравнением
\begin{gather*}
Y_n = A_n Y_{n-1} + B_n,
\end{gather*}
где $A_{n} = \exp \left(\zeta_{k(n)}\right)$, $B_n$ – некоторая последовательность, не зависящая от будущего (то есть значений $A_{k}$ после
следующего момента регенерации $\tau_1 + \dotsc + \tau_n$) и удовлетворяющая некоторым моментным условиям.
Заметим, что $B_i$ могут быть зависимыми между собой.
В случае $\tau_i = 1$ модель представляет введенную А.В. Шкляевым модель линейной рекуррентной последовательности.
При некоторых дополнительных условиях на $A_n$ и $B_n$ были получены вероятности больших уклонений
$\mathbf{P}(\ln{Y_n} \in [x, x + \Delta_n))$, где
$\Delta_n$ – положительная последовательность, стремящаяся к нулю достаточно медленно при $n \to \inf$, а $x$ соответствует первой зоне больших уклонений.
Представление ВПССЗ в виде случайной рекуррентной последовательности позволяет получить аналогичные результаты для ВПССЗ.
Отметим, что в работе рассматривается случай ограниченных $\tau_i$, отдельный интерес представляет поведение исследуемой вероятности в случае, когда $\tau_i$ растут при увеличении $i$.
