Комбинаторная реализация циклов и малые накрытия

Чтобы определить группы гомологий пространства, необходимо указать, что мы считаем циклом и какие циклы мы считаем гомологичными. Сначала в работах Пуанкаре цикл в многообразии определялся как гладкое подмногообразие без края. Позже Пуанкаре пришел к понятию цикла как алгебраической суммы сингулярных симплексов, что привело к теории сингулярных гомологий. В середине 20-го века выяснилось, что определение цикла как гладкого многообразия приводит к другой важнейшей теории гомологий — теории бордизмов. Естественным образом возник вопрос о соотношении между двумя понятиями цикла. В частности, Стинродом в конце 1940-х годов была сформулирована следующая проблема.
Пусть $z$ — целочисленный класс гомологий пространства $X$; может ли $z$ быть реализован как образ фундаментального класса ориентированного гладкого многообразия $M^n$ при непрерывном отображении $f\colon M^n\to X$?
В 1954 году Том привел пример нереализуемого 7-мерного класса, однако доказал, что для каждой размерности $n$ существует натуральное число $k(n)$ такое, что класс $k(n)z$ всегда реализуем.
В докладе будет показано, как по данному сингулярному циклу явно построить многообразие $M^n$ и отображение $f\colon M^n\to X$, реализующие с некоторой кратностью класс гомологий этого цикла. В основе построения лежит теоретико-групповая конструкция, связанная с прямоугольными группами Кокстера.
Впервые конструкция явной реализации циклов была получена докладчиком в 2007 году, однако изложение на языке групп Кокстера является новым. Эта конструкция позволяет в каждой размерности $n$ указать многообразие $M_0^n$, обладающее следующим универсальным свойством:
Для любых $X$ и $z$ из $H_n(X,\mathbb Z)$ некоторый кратный $z$ класс гомологий может быть реализован образом фундаментального класса конечнолистного накрытия над $M^n_0$.
В докладе будут описаны некоторые свойства класса многообразий $M^n_0$, обладающих этим универсальным свойством. Будет найдено много примеров таких многообразий среди так называемых малых накрытий над простыми многогранниками. В размерности 4 будет доказана гипотеза Котщика–Лех о реализации циклов гиперболическими многообразиями.