Аннотация:
Функция объёма — это функция на пространстве аффинных гиперплоскостей, равная объёму, отсекаемому гиперплоскостью от области евклидова пространства с гладкой границей. Эта функция регулярна вблизи типичных гиперплоскостей по отношению к границе области. Нас интересует поведение этой функции вблизи нетипичных гиперплоскостей, которые имеют касания или асимптотические направления. Оказывается, что локальная конечнолистность ограничения функции объёма на локальную компоненту множества типичных гиперплоскостей в ряде случаев влечёт тривиальность некоторого класса относительных гомологий, зависящего от этой компоненты, — аналога чётного класса Петровского из теории лакун гиперболических УрЧП. Вычисление этих классов и перечисление компонент их тривиальности для многих особенностей касания сделано В.А.Васильевым. Мы покажем, что дискриминанты введённых В.И.Арнольдом краевых особенностей естественно возникают как множества нерегулярности функции объёма вблизи асимптотических гиперплоскостей. Мы расскажем, как решать аналогичные задачи в этом случае.
