Приближение набором множеств. Кусочно аппроксимативно компактные чебышёвские множества. Солнечность ограниченно слабо компактных множеств

Показано, что не более чем счетное объединение непересекающихся множеств существования не является чебышёвским множеством. Охарактеризованы нормированные и несимметрично нормированные пространства, в которых каждое ограниченно компактное (аппроксимативно компактное) множество является множеством существования. Получен ряд условий, при которых такое объединение не является чебышёвским множеством. Получены результаты об отсутствии единственности приближения произведениями, обобщенными дробями, ридж-функциями в пространствах $L^p$, $1<p<\infty$. Рассмотрены кусочно аппроксимативно компактные чебышёвские множества в линейных нормированных пространствах. Показано, что в локально равномерно выпуклом банаховом пространстве кусочно аппроксимативно компактное чебышёвское множество является солнцем и имеет линейно связные пересечения с замкнутыми шарами, а если пространство дополнительно является гладким, то и выпукло. Изучены ограниченно слабо компактные множества, для которых существуют для любого $\varepsilon>0$ $\mathrm{nw}$-непрерывные $\varepsilon$ - выборки. Для таких множеств в рефлексивных пространствах со свойством Кадеца–Кли доказывается их солнечность. Для аппроксимативно компактных множеств показано, что условие существования $\mathrm{nw}$-непрерывной $\varepsilon$ - выборки для всех $\varepsilon>0$ равносильно существованию $\mathrm{nn}$-непрерывной $\varepsilon$ - выборки для каждого $\varepsilon>0$. Изучены слабо компактные множества в линейных нормированных пространствах, для которых существуют для любого $\varepsilon>0$ $nw$-непрерывные $\varepsilon$-выборки и замыкание их выпуклой оболочки слабо компактно в этом пространстве. Для таких множеств в гладких пространствах доказывается их выпуклость. В качестве следствия получен факт выпуклости таких множеств в линейном многообразии всех аналитических функций относительно $L_1$-нормы.