Аннотация:
По совместным работам в А.И. Нуриевой (ВШЭ)
Предложено несколько способов обобщить теорему Добрушина о
ЦПТ в схеме серий для марковских процессов
(https://www.mathnet.ru/rus/tvp4987,
https://www.mathnet.ru/rus/tvp5010), по-разному ослабляя
условия на коэффициент эргодичности Маркова – Добрушина
(далее МД) для неоднородных цепей Маркова. Первоначально
проблему ЦПТ для цепей Маркова начал исследовать сам
А.А. Марков, доказав ЦПТ для неприводимой цепи с конечным
числом состояний и в “простой” постановке, безо всяких
схем серий. Он же ввел в рассмотрение (никак его не
называя) эргодический коэффициент. Затем к проблеме
подключились поочередно Бернштейн, Колмогоров, Линник
и их ученики (см., например,
https://www.mathnet.ru/rus/im3213). Итогом стало
достаточное условие Добрушина (1956) на скорость
сходимости $\alpha_n n^{1/3}\to\infty$ (где $\alpha_n$ –
дополнительный к-т до к-та эргодичности МД), вкупе с
упрощающим условием об отделенности от нуля дисперсий
слагаемых. Оно было подкреплено контрпримером
Бернштейна–Добрушина, в котором указанная асимптотика
нарушалась и ЦПТ не имела места. Почти 70 лет это
считалось окончанием борьбы за скорость сходимости
$\alpha_n$ к нулю. В 2005г. появилась статья Варадана и
Сетурамана (https://doi.org/10.1214/EJP.v10-283), где
другим, более простым методом был передоказан результат
Добрушина, с сохранением основного условия $\alpha_n
n^{1/3}\to\infty$. Важным моментом их нового метода
явилось использование преобразование Гордина
(https://www.mathnet.ru/eng/dan34921, 1969). В совместном
исследовании с аспиранткой ВШЭ Аишей Нуриевой мы
предложили несколько новых вариантов достаточных условий,
более слабых, нежели условие Добрушина. Они и будут
доложены на докладе. Один метод описан в краткой заметке в
препринте arXiv:2506.07287, другие также доступны в
препринтах и частично приняты к печати. Во всех наших
новых вариантах новые условия не привели к сужению класса
процессов, удовлетворяющих ЦПТ, а наоборот, каждый раз
этот класс был так, или иначе расширен.
|
