Аннотация:
В рамках доклада будет рассказано о связи двух на первый взгляд совершенно различных областей математики — теории проективно эквивалентных метрик и интегрируемых биллиардов на столах, ограниченных квадриками.
На первом этапе речь пойдет о классификации геодезически согласованных пар $g$, $L$ в размерности два. Такие пары оказываются крайне интересным объектом. В частности, линии уровня собственных значений оператора $L$ задают семейство квадрик с замечательными фокусными свойствами (в евклидовом случае это в точности эллиптическая система координат, то есть семейство софокусных квадрик).
Более того, с такими парами $g$, $L$ связана интегрируемая система, дополнительный интеграл которой сохраняется при отражении материальной точки от кривой такого семейства (отражение следует рассматривать в смысле соответствующей плоской метрики, то есть возникают псевдоевклидовы отражения и биллиарды Минковского). Это позволяет определить большой класс биллиардов, значительная часть которых является новыми.
|
