О некоторых достижениях топологии за последние 100 лет (комментарий к докладу Э. Алкина)

В докладе в качестве иллюстрации к стандартному курсу алгебраической топологии приводится алгебраическое доказательство леммы, которой был посвящён сегодняшний доклад Э. Алкина, а также объясняется, что известная книга под названием "A geometric approach to homology theory" содержит алгоритм, позволяющий получить из всякого такого алгебраического доказательства геометрическое доказательство в духе рассуждений Э. Алкина.

Ссылка для подключения: https://mian.ktalk.ru/j1xwg956wc7a
PIN-код: Число гомотопических классов отображений из слова ПЁС в слово ЁЖ (где под словом понимается изображаемое его буквенной записью подмножество плоскости)



Добавление. Ниже приведено краткое содержание доклада в слегка отредактированной форме.

Около 100 лет назад люди активно решали задачи следующего типа: дано, что некими рассуждениями о пересечениях псевдомногообразий в многообразиях и подсчётом точек пересечения со знаками (или по модулю 2) получено некоторое интересное соотношение, при этом в рассуждении предполагается "общность положения" всех псевдомногообразий, без уточнений, в чём именно она состоит; требуется провести это рассуждение аккуратно, уточнив неформальные соображения про общность положения. В частности этим занимался Лефшец. Многие задачи такого типа казались тогда весьма муторными, и эта ситуация людей напрягала (в то время, около 100 лет назад).

В 30-х — 40-х годах было найдено первое, алгебраическое, решение этой задачи в общем случае. Оно состояло в том, что все пересечения псевдомногообразий надо интерпретировать либо как $\smallsmile$-произведение классов когомологий, либо как $\smallfrown$-произведение класса гомологий и класса когомологий. Тогда искомое вычисление удаётся провести чисто алгебраически, и никакого огорода с общим положением городить не надо, всё получается и без него.

Например, вот алгебраическое доказательство леммы, сформулированной в докладе Э. Алкина (а также в его аннотации: https://www.mathnet.ru/rus/present47735)

$\mathbb R^{k+l+1}$ я заменю на $S^{k+l+1}=S^m$, все гомологии и когомологии берутся по модулю $2$.

Пусть $A$, $B$ и $C$ — регулярные окрестности образов $T$, $S^k_p$ и $S^k_m$ соответственно. В них есть классы гомологий $x\in H_{2l}(A)$, $y\in H_k(B)$ и $z\in H_k(C)$ — образы фундаментальных классов $T$, $S^k_p$ и $S^k_m$ соответственно. Им двойственны по Пуанкаре классы когомологий $D(x)\in H^{m-2l}(A,\partial A)$, $D(y)\in H^{l+1}(B,\partial B)$, $D(z)\in H^{l+1}(C,\partial C)$. Изоморфизм вырезания и связующий изоморфизм $\delta^*$ из точной последовательности пары $(S^n, S^n-X)$, где $X=A$, $B$ или $C$, позволяет представить эти классы в виде $D(x)=\delta^*(\alpha)$, $D(y)=\delta^*(\beta)$, $D(z)=\delta^*(\gamma)$, где $\alpha\in H^{m-2l-1}(S^n-A)$, $\beta\in H^l(S^n-B)$ и $\gamma\in H^l(S^n-C)$. Тогда $\alpha\smallsmile\beta\smallsmile\gamma\in H^{m-1}(S^n-W)$, где $W=A\cup B\cup C$, имеет вид $D(w)$, где $w\in H_1(S^n-W, \partial W)$, и класс $\delta^*(\alpha\smallsmile\beta\smallsmile\gamma)\in H^m(W,\partial W)$ равен $D(\partial_*(w))$, где $\partial_*(w)\in H_0(W)$. Поскольку граница всякой $1$-цепи состоит из чётного числа точек, $\partial_*(w)$ имеет нулевой образ в $H_0(pt)$ при отображении $W\to pt$. Следовательно, $\delta^*(\alpha\smallsmile\beta\smallsmile\gamma)[M,\partial M]=0$. С другой стороны, опуская очевидные гомоморфизмы, индуцированные включениями, $\delta^*(\alpha\smallsmile\beta\smallsmile\gamma)=\delta^*(\alpha)\smallsmile\beta\smallsmile\gamma+\alpha\smallsmile\delta^*(\beta)\smallsmile\gamma+\alpha\smallsmile\beta\smallsmile\delta^*(\gamma) =D(x)\smallsmile\beta\smallsmile\gamma+\alpha\smallsmile D(y)\smallsmile\gamma+\alpha\smallsmile\beta\smallsmile D(z)=D(x\smallfrown(\beta\smallsmile\gamma))+D(y\smallfrown(\alpha\smallsmile\gamma))+D(z\smallfrown(\alpha\smallsmile\beta)),$ где последнее равенство выполнено, поскольку $\smallsmile$ и $\smallfrown$-произведения связаны двойственностью Пуанкаре. В силу естественности $\smallfrown$-произведения $x\smallfrown(\beta\smallsmile\gamma)=f_*(T)\smallfrown(\beta\smallsmile\gamma)=f_*(T\smallfrown f^*(\beta\smallsmile\gamma))=f_*(D(f^*(\beta\smallsmile\gamma)))=f_*(D(f_1^*(\beta)\smallsmile f_1^*(\gamma))$ и аналогично $y\smallfrown(\alpha\smallsmile\gamma)=f_*(D(f_2^*(\alpha)\smallsmile f_2^*(\gamma))$ и $z\smallfrown(\alpha\smallsmile\beta)=f_*(D(f_3^*(\alpha)\smallsmile f_3^*(\beta))$, где $f=f_1\sqcup f_2\sqcup f_3: T\sqcup S^k_p\sqcup S^k_m\to S^m$. Поскольку $k>l>0$, $H^l(S^k)=0$, откуда $f_2^*(\gamma)=0\in H^l(S^k_p)$ и  $f_3^*(\beta)=0\in H^l(S^k_m)$. Из условий о зацепленности по модулю 2 $f_1^*(\beta)[m]=1$ и $f_1^*(\beta)[p]=0$, откуда $f_1^*(\beta)=D([p])$, и аналогично $f_1^*(\gamma)=D([m])$. Поэтому $f_1^*(\beta)\smallsmile f_1^*(\gamma)$ — образующая $H^{2l}(T)$, откуда $f_*(D(f_1^*(\beta)\smallsmile f_1^*(\gamma))$ — образующая $H_0(A)$. Получили, что образующая $H_0(S^m)$ равна $0$, противоречие.

Возвращаясь к тому, что произошло в топологии за последние 100 лет, большую часть топологов это общее алгебраическое решение вполне устроило (и до сих пор устраивает), но нашлись и некоторые недовольные, которые говорили, что эта ваша алгебра уничтожила геометрическое понимание. Действительно, с алгебраической точки зрения к общему положению не нужно стремиться, потому что для $\smallsmile$ и $\smallfrown$-произведений есть формулы на уровне цепей и коцепей, которые не предполагают, что эти цепи находятся в общем положении. Но геометрический смысл этих формул выглядит очень сложным (или во всяком случае я не видел попыток его прояснить).

Эти затаившиеся недовольные тихо вели свою подпольную деятельность, и закончилась она тем, что в начале 70-х годов задача получило второе, геометрическое, решение в общем случае. Это решение состоит в том, что каждый шаг первого, алгебраического, решения, допускает чёткую геометрическую интерпретацию, что в частности даёт алгоритм, как в каждом конкретном случае выписать чисто геометрическое решение так, чтобы все соображения общего положения были абсолютно аккуратны (но догадываться до того, что именно и как именно нужно шевелить, уже не требуется, поскольку все шевеления однозначно и алгоритмически извлекаются из алгебраического решения). Это геометрическое решение в общем случае достаточно чётко записано в книге Буонкристиано–Рурка–Сандерсона "A geometric approach to homology theory". Правда, для большинства топологов сама постановка вопроса была нерелевантна (зачем решать уже решённую, с их точки зрения, задачу?) и потому это второе решение разошлось не столь широкими кругами, как первое. В частности, вразумительного учебника для первокурсников по следам этой книги никто так и не написал.