Аннотация:
Действие группы Ли $G$ на многообразии $X$ задаёт гамильтоново действие $G$ на кокасательном расслоении $T^*X$. Это важный класс объектов симплектической геометрии и гамильтоновой механики: в кокасательных расслоениях реализуются фазовые пространства многих важных гамильтоновых динамических систем с симметриями.
Для лучшего понимания геометрии действия $G:T^*X$ (например, для интегрирования уравнений гамильтоновой динамики) естественно пытаться заменить $T^*X$ на локально изоморфное ему симплектическое $G$-многообразие с более понятным строением. Соответствующая конструкция была предложена Э. Б. Винбергом (2001) в ситуации, когда $X$ — квазиаффинное алгебраическое многообразие, а $G$ — редуктивная алгебраическая группа. А именно, строится симплектическое эквивариантное рациональное накрытие $T^*Y \to T^*X$, где $Y$ — многообразие типичных орисфер (т. е. орбит максимальных унипотентных подгрупп $G$) на $X$.
В докладе конструкция Винберга будет обобщена на произвольное алгебраическое многообразие $X$. В общем случае в качестве $Y$ нужно рассматривать некоторое многообразие орисфер необщего положения.
Основными инструментами являются отображение момента и новая версия «теоремы о локальной структуре», описывающая действие некой параболической подгруппы $Q \subset G$ на открытом подмножестве $X$.
Теорема о локальной структуре позволяет также просто доказать ряд результатов Ф. Кнопа о геометрии действия $G$ на $T^*X$: описание замыкания образа отображения момента, вычисление стабилизатора общего положения, интегрирование инвариантного коллективного движения.
|
