Математические вопросы теории управления квантовыми системами

Математическиe исследования в теории управления атомными, молекулярными и нано-системами, в поведении которых существенны квантовые эффекты, являются одной из бурно развивающихся областей современной математической физики с важными приложениями в физике, химии, биологии. Динамика квантовой системы описывается зависящим от функции управления уравнением Шрёдингера (для изолированных от окружения систем) либо мастер-уравнением (для открытых систем). Задача оптимального управления заключается в нахождении функции управления, максимизирующей заданный целевой функционал. В ряде задач квантового управления требуется исследовать максимумы некоторых функций на многообразиях Штифеля. В последние годы в этой области были достигнуты значительные успехи, решен ряд давно стоявших задач. В докладе будут изложены некоторые результаты докладчика и соавторов по следующим проблемам.
1) Решена важная задача о существовании ловушек второго рода — критических точек целевого функционала, не являющихся глобальными максимумами, в которых Гессиан целевого функционала отрицательно полуопределен; cовместно с D. J. Tannor, Weizmann Institute of Science.
2) Исследованы все критические точки и показано отсутствие локальных максимумов и минимумов у целевых функционалов на многообразиях Штифеля, описывающих широкий класс задач управления открытыми квантовыми системами; данные результаты получили применение в задачах управления в химии; совместно с R. Wu, D. Prokhorenko, H. Rabitz, Princeton University.
3) Решена задача приближенной реализации полной управляемости открытых квантовых систем, в рамках которой предложен метод приближенного создания произвольных чистых и смешанных квантовых состояний (т.е. произвольных матриц плотности).

Список литературы

1. A. Pechen, Phys. Rev. A, 84 (2011), 042106        
2. A. Pechen, D. J. Tannor, Phys. Rev. Lett., 106 (2011), 120402        
3. A. Pechen, D. Prokhorenko, R. Wu, H. Rabitz, J. Phys. A: Math. Gen., 41 (2008), 045205