Аннотация:
Пусть $\nu(\lambda)$ — распределение суммы $\sum_{n>0}\pm\lambda^n$, где число $\lambda$ изменяется от $1/2$ до $1$, а плюс или минус (в значке $\pm$) выбирается случайным образом с вероятностью $1/2$. При каких $\lambda$ полученная мера абсолютно непрерывна относительно меры Лебега? Этот фундаментальный вопрос возникает при изучении некоторых динамических систем (и мы поясним, как именно).
Исследование задачи началось в 30-х годах с работ Уинтнера и Эрдёша. Шестидесятилетний итог результатов (Wintner'35; Erdos'39; Garsia'62; Kahane'71; Solomyak'95) можно обрисовать так: существует бесконечно много таких $\lambda$, что мера $\nu(\lambda)$ сингулярна, но для почти всех $\lambda$ по мере Лебега из отрезка $[1/2;1]$ рассматриваемая мера абсолютно непрерывна.
Мы рассмотрим различные методы подхода к проблеме и обсудим возможности их обобщения, а также ответим на некоторые дополнительные вопросы, такие как гладкость меры в абсолютно непрерывном случае и хаусдорфова размерность ее носителя — в сингулярном.
|
