Уравнения Эйнштейна в контексте теории интегрируемых систем и нелинейные свойства сильных гравитационных полей

Фундаментальный характер уравнений Эйнштейна определяется не только их удивительным физическим содержанием, составляющим основу современной теории гравитации, но и их чрезвычайно богатой математической структурой, которая (при ее внимательном изучении и минимуме дополнительных упрощающих предположений) может приводить к обнаружению новых интересных структур, ассоциируемых с этими уравнениями, подсказывать новые пути их анализа и построения решений. Иллюстрации последнего утверждения на примере теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна и посвящен настоящий доклад.
За последние три с половиной десятилетия было обнаружено, что уравнения Эйнштейна в ряде физически важных случаев, таких как уравнения Эйнштейна в вакууме, электровакуумные уравнения Эйнштейна–Максвелла, уравнения Эйнштейна–Максвелла–Вейля, а также уравнения, определяющие динамику бозонного сектора некоторых моделей струнной гравитации и супергравитации, оказываются вполне интегрируемыми при единственном предположении, что в $D$-мерном пространстве-времени все поля и их потенциалы зависят только от двух координат, т.е. допускают Абелеву группу изометрий размерности $D-2$. Для решения этих уравнений многими авторами были развиты и применялись различные методы, такие как методы обратной задачи рассеяния и теории солитонов (В. А. Белинский и В. Е. Захаров), методы, связанные с теорией сингулярных интегральных уравнений и основанные на формулировках задач Римана и Римана–Гильберта (I. Hauser и F. Ernst, Н. Р. Сибгатуллин, G. Neugebauer и R. Meinel), теоретико-групповые методы (W. Kinnersley и D. M. Citre, B. Julia, P. Breitenlohner и D. Maison), преобразования Бэклунда (G. Neugebauer, B. Harrison), метод продолженных структур (F. Estabrook, H. Wahlquist, B. Harrison) и другие.
В докладе будет рассказано о предложенном ранее автором и получившем дальнейшее развитие методе преобразования монодромии — едином и общем подходе к анализу и построению решений всех упомянутых выше уравнений. Этот подход основан на введении специального набора функциональных параметров, не зависящих от координат, но являющихся голоморфными функциями свободного комплексного («спектрального») параметра, которые однозначно характеризуют каждое локальное решение. Эти параметры возникают как полный набор данных монодромии для (нормированного) фундаментального решения ассоциированной линейной системы и играют (аналогично данным рассеяния в методе обратной задачи) роль «координат» в бесконечномерном пространстве всех локальных решений каждой из рассматриваемых систем. Обратная задача такого отображения (преобразования монодромии) также всегда имеет и при том единственное решение, т.е. для произвольного набора функций, задающих данные монодромии, соответствующее локальное решение всегда существует и единственно. Система линейных сингулярных интегральных уравнений, решающая эту обратную задачу допускает явное решение для широких классов данных монодромии, являющихся аналитически согласованными и представляемых произвольными рациональными функциями спектрального параметра. Это позволяет вычислять явно бесконечные иерархии точных решений. Важно, что многие известные решения входят в эти иерархии как частные случаи, что позволяет строить их суперпозиции и многопараметрические обобщения. В докладе приводятся примеры различных новых частных решений, описывающих черные дыры во внешних гравитационных и электромагнитных полях, нелинейное взаимодействие сильных гравитационных и электромагнитных волн, динамику простейших космологических моделей, которые, хотя и представляют чисто модельные задачи, позволяют детально изучить не подвластные нашей интуиции особенности нелинейного характера сильных гравитационных полей и их взаимодействия с другими материальными полями.