Функция Грина конечнозонного при одной энергии оператора Шредингера на квадратной решетке

Рассмотрим регулярную риманову поверхность $\Gamma$ рода $g$ и «обобщенные спектральные данные» — специальный набор выделенных точек на ней. По ним строится мероморфная на $\Gamma$ функция $\Psi(\gamma, m, n)$, $m, n \in \mathbb{Z}$, удовлетворяющая при каждом $\gamma \in \Gamma$ равенству
$$ \Psi(\gamma, m + 1, n + 1) + \alpha_1(m, n)\Psi(\gamma, m + 1, n) + \alpha_2(m, n)\Psi(\gamma, m, n + 1) + \alpha_3(m, n)\Psi(\gamma, m, n) = 0. $$
Волновая функция $\Psi(\gamma, m, n)$ является аналогом функции Бейкера-Ахиезера в дискретном случае. При некоторых дополнительных условиях на обобщенные спектральные данные равенство принимает вид дискретного уравнения Коши-Римана
$$ \Psi(m + 1, n + 1) - \Psi(m, n) = if(m, n)(\Psi(m + 1, n) - \Psi(m, n + 1)). $$
Тогда ограничение $\Psi$ на четную подрешетку (аналог взятия вещественной части голоморфной функции) удовлетворяет уже пятиточечному уравнению
\begin{equation} \begin{split}\label{firstL} &\tfrac{1}{f(m, n)}(\Psi(m + 1, n + 1) - \Psi(m, n)) +\\ &f(m, n - 1)(\Psi(m + 1, n - 1) - \Psi(m, n)) +\\ &f(m - 1, n)(\Psi(m - 1, n + 1) - \Psi(m, n)) +\\ &\tfrac{1}{f(m - 1, n - 1)}(\Psi(m - 1, n - 1) - \Psi(m, n)) = 0. \end{split} \end{equation}
Соответствующий линейный оператор $L$ естественно назвать дискретным оператором Шредингера.
Главная цель данного доклада — явная формула для функции Грина $G$ оператора $L$, выражающая ее в терминах интеграла по специальному контуру на $\Gamma$ от дифференциала, построенного по волновой функции $\Psi$ и двойственной ей. Описанная формула позволяет почти по каждой точке спектральной кривой построить функцию Грина с известной асимптотикой на бесконечности.