Гармонические отображения в комплексные грассмановы многообразия

На докладе я перескажу статью Бёрстолла и Саламона «Турниры, флаги и гармонические отображения». В статье изучается специфика гармонических отображений из римановой поверхности в комплексное Грассманово многообразие (которые в общей постановке исследуются как отображения из риманова многообразия $M$ в риманово многообразие $N$). Твисторная конструкция в общем виде позволяет получать гармонические отображения как проекции почти голоморфных отображений в некоторое почти комплексное твисторное многообразие (расслоенное над $N$). Твисторным многообразием для комплексного многообразия Грассмана является почти комплексное флаговое многообразие относительно некоторой (неинтегрируемой) почти комплексной структуры $J$. Это выводится комбинаторно с помощью отождествления гармонического отображения в грассманово многообразие с некоторым подрасслоением тривиального расслоения. В случае, когда риманова поверхность $M$ — это сфера Римана, верно и обратное утверждение, что для любого гармонического отображения в грассманово многообразие найдется $J$-почти голоморфная кривая в флаговом многообразии, чья проекция будет гармоническим отображением. Это доказывается с помощью теоремы Биркгофа–Гротендика о разложении голоморфного векторного расслоения.