Об уравнении Монжа–Ампера в полиномиальной области

Будет рассмотрен вопрос существования полиномиального решения уравнения Монжа–Ампера $Мz(x,y)=f(x,y)$, когда правая часть $f(x,y)$ есть полином либо второй, либо четвертой степени. (Здесь $М$ — оператор Монжа–Ампера). В том случае, когда $f(x,y)$ — полином второй степени, доказываются
1) теорема о несуществовании полиномиального решения,
2) аппроксимационная теорема: в любой ограниченной области по заданному $\varepsilon>0$ находится полином $Q$ четвертой степени такой, что $|МQ-f(x,y)|<\varepsilon$.
Если $f(x,y)$ — полином четвертой степени, то найдены ограничения на коэффициенты $f(x,y)$, при которых может существовать решение $z(x,y)$ в виде полинома четвертой степени.