Аннотация:
1.Пусть$(\mathbf{X},\mathcal{A}, \mu )$ - измеримое пространство с
мерой $\mu$ на нем. Некоторая функция $\theta\in\Theta\subseteq
L_2 (\mathbf{X})$ наблюдается в шуме. Если множество $\Theta$
бесконечномерно, возникает проблема, как построить оценку для
$\theta$. В 1962 г. Н. Н. Ченцов предложил следующий метод
построения таких оценок. Рассмотрим $N$-мерные подпространства $H$
гильбертова пространства $L_2 (\mathbf{X})$, выберем такое $H$,
которое достаточно хорошо аппроксимирует $\Theta$ , построим
хорошую оценку $T_N$ проекции $\theta$ на $H$ и используем $T_N$ в
качестве оценки для $\theta$. Таким образом задача оценивания
бесконечномерного параметра разбивается на две следующих
подзадачи:
1. статистическую задачу оценивания конечномерного
параметра;
2. задачу аппроксимации множества $\Theta$ конечномерными
линейными многообразиями.
2. В докладе я рассматриваю следующее обобщение метода
Ченцова. Пусть $H_K\subseteq L_2$ - подпространство $L_2$ с
воспроизводящим ядром $K(x,y)$. Предлагается рассматривать
проекции $\theta$ на различные $H_K$ и оценивать эти проекции (все
конечномерные гильбертовы пространства имеют воспроизводящее ядро
). Оказывается, что такие обобщенные проекционные оценки во многом
сходны с классическими оценками Ченцова.
3. Метод будет проиллюстрирован на трех следующих задачах:
1. Оценка функции, наблюдаемой в гауссовском шуме.
2. Оценка плотности распределения.
3. Оценка плотности интенсивности неоднородного случайного
пуассоновского множества.
|
