О втором члене в формуле Вейля для оператора Лапласа на замкнутом двумерном римановом многообразии

Пусть $N(x)$ — число собственных значений, меньших $x$. Хермандер доказал, что в формуле Вейля
$$ N(x)=Ax+P(x) $$
имеет место оценка $P(x)=O(x^{-1/2})$ при $x\to\infty$. Говорят, что $P(x)$ допускает степенное понижение, если $P(x)=O(x^{\theta+\varepsilon})$ для любого $\varepsilon>0$ при $\theta<\frac12$. В докладе рассмативается вопрос о связи геометрии геодезического потока с возможностью степенного понижения. Будет дан обзор имеющихся результатов и гипотез. В частности, на примере римановой поверхности с метрикой постоянной отрицательной кривизны будет рассмотрен случай с интегрируемым геодезическим потоком.