Аннотация:
Каждому симплициальному комплексу $K$ размерности $n-1$ на $m$ вершинах
соответствует момент-угол комплекс $\mathcal{Z}_K$ с действием тора
$T^m=(S^1)^m$. Числом Бухштабера называется максимальная размерность
подгруппы $H\subset T^m$, $H\simeq T^k$, действующей на $\mathcal{Z}_K$
свободно. Легко показать, что $s(\Delta^n)=0$ и $1\leqslant s(K)\leqslant
m-n$ для $K\ne\Delta^n$. В 2002 году В. М. Бухштабером была поставлена
проблема: найти эффективное комбинаторное описание числа $s(K)$. Решается
частный случай этой проблемы: найти критерий того, что $s(K)=2$. Для этого
развит метод вычисления числа Бухштабера при помощи множества недостающих
граней симплициального комплекса.
Если комплекс $K$ является границей симплициального $n$-многогранника $P$ с
$m$ вершинами, то $s(K)=1$ тогда и только тогда, когда $P$ – симплекс, то
есть $m-n=1$. Для общих симплициальных комплексов $s(K)=1$ тогда и только
тогда, когда $K\ne\Delta^n$ и любые две и любые три недостающие грани
пересекаются. Случай $s(K)=2$ гораздо более сложный: можно показать, что для
любого $k\geqslant 2$ существует симплициальный $n$-многогранник $P$ с
$m-n=k$ и $s(\partial P)=2$. В докладе будет дан критерий того, что $s(K)=2$
в терминах множества недостающих граней.
|
