Максимальное неравенство для косого броуновского движения

Известно, что для стандартного броуновского движения $(B_t)_{t\ge 0}$ справедливы следующие максимальные неравенства (см. [Dubins, Schwarz, 1988], [Dubins, Gilat, Meilijson, 2008]):
$$ E \max_{s\le\tau}|B_s|\le\sqrt{2 E\tau}, \qquad E[\max_{s\le\tau}B_s-\min_{s\le\tau}B_s]\le\sqrt{3E\tau}, $$
где $\tau$ — произвольный момент остановки.
Мы обобщим эти неравенства на случай косого броуновского движения, а именно на случай процесса $(X_t^{\alpha})_{t\ge 0}$, удовлетворяющего стохастическому уравнению
$$ X_t^{\alpha}=B_t+(2\alpha-1)L_t^0(X^{\alpha}), \qquad \alpha\in[0,1], $$
где $L_t^{\alpha}(X^{\alpha})$ — локальное время процесса $X^{\alpha}$ в нуле.
Будет доказано, что выполняется неравенство
$$ E[\max_{s\le\tau}X_s^{\alpha}-\min_{s\le\tau}X_s^{\alpha}]\le\sqrt{K_{\alpha}E\tau}, $$
и будет найдено явное выражение для величины $K_{\alpha}$.