Аннотация:
С использованием формул Плюккера для прективной
двойственности решается задача о классификации систем ортогональных
многочленов от двух переменных.
Системой ортогональных многочленов от $n$ переменных называется
набор $(D,g,\rho)$, где $D$ – область в $R^n$, $g=(g_{ij})$ –
риманова метрика в $D$ и $\rho$ – положительная непрерывная
функция, такие что дифференциальный оператор
$L=\rho^{-1}\sum\partial_i \rho g^{ij}\partial_j$ симметричен в $L^2(D,\rho\,dx)$, и при этом пространство многочленов любой
фиксированной степени инвариантно относительно $L$ (в этом случае
собственные функции оператора $L$ и есть те самые ортогональные
многочлены, о которых говорится в заглавии). Например, при $n=1$
таким образом получаются многочлены Якоби (в частности, Чебышева),
Лагера и Эрмита.
Легко видеть, что $g^{ij}$ – многочлены второй степени и
$\det(g^{ij})$ обращается в ноль на границе области $D$. Тем самым
$D$ – это компонента связности дополнения гиперповерхности степени $2n$, а значит, кривой четвертой степени при $n=2$. Ключевой идеей,
приведшей к решению задачи, является рассмотрение свойств данной
кривой с точки зрения проективной двойственности.
|
