Аннотация:
Понятие экстремальной длины семейства кривых является одним из фундаментальных инструментов геометрической теории функций комплексного переменного. Этот конформный инвариант, предложенный Берлингом и Альфорсом в середине XX века, строится как решение некоторой экстремальной задачи для всех возможных конформных метрик в плоской области $\Omega$, что позволяет связывать геометрические и аналитические характеристики заданной конфигурации точек в $\Omega$. Например, так доказывается знаменитая экспоненциальная оценка гармонической меры далекой дуги через интеграл $\int(dx/\theta(x))$.
Мини-курс будет состоять из двух частей:
(а) классическая «непрерывная» постановка (определение экстремальной длины, связь с другими конформными инвариантами, доказательство оценки Альфорса–Берлинга–Карлемана);
(б) «равномерная дискретизация» соответствующей теории, позволяющая использовать аппарат геометрической теории функций комплексного переменного, оставаясь на дискретном уровне.
Предварительные знания, выходящие за рамки базового университетского курса комплексного анализа, не предполагаются.
