Аннотация:
Пусть $X$– нормальная алгебраическая поверхность определенная
над совершенным полем $k$. По любому ненулевому элементу $b$ из поля
рациональных функций поверхности $X$ и для любого целого $n$ больше $1$ я
построю нетривиальное центральное расширение группы $GL(n)$ c
коэффициентами из кольца аделей поверхности $X$. Ядром построенного
центрального расширения является мультипликативная группа поля
$k$. При ограничении построенного центрального расширения на локальные
компоненты, то есть на группу $GL(n)$ с коэффициентами из двумерного
локального поля, соответствующего точке и неприводимой кривой на
поверхности $X$, получается центральное расширение, задаваемое
символом из K-теории, который описывает куммерово расширение
двумерного локального поля, получающееся присоединеним корня из
элемента $b$ (согласно двумерной локальной теории полей классов в
случае конечного поля $k$). Я докажу некоммутативные законы
взаимности: расщепление построенных центральных расширений над
подгруппами группы $GL(n)$, получающимися, если брать коэффициенты в
матрицах из колец, связанных с произвольной точкой или с
произвольной неприводимой проективной кривой на $X$. Я также расскажу
в более простой ситуации, соответствующей неразветвленным
расширением двумерных локальных полей, аналогичные конструкции и
теоремы для арифметических поверхностей.
|
