Ветвящиеся процессы в случайной среде и бутылочное горло эволюции

Первые модели ветвящихся процессов стали изучаться в 80-х годах XIX века в связи с исследованием проблемы вырождения знаменитых фамилий. К настоящему моменту, благодаря усилиям Колмогорова, Севастьянова, Беллмана, Харриса, Атрейи, Нея, Доусона, Дынкина и многих других математиков, теория ветвящихся процессов стала одним из важнейших разделов теории вероятностей. Результаты теории ветвящихся процессов, красивые и трудные сами по себе, нашли применения в физике, химии, демографии и других областях науки. Особенно полезными оказались применения теории ветвящихся процессов в биологии, в частности при анализе развития популяций и построении генеалогического дерева, описывающего развитие видов. Не в последнюю очередь это связано с прогрессом в анализе структуры ДНК, достигнутым в последнее время.
Однако классические модели не отражают в полной мере явления, характерные для эволюции популяций, важнейшим из которых является осцилляция числа индивидуумов (а не экспоненциальный мальтусовский рост или быстрое вырождение, характерные для классических моделей). В связи с этим представляет интерес изучение ветвящихся процессов в случайной среде, в рамках которых, как оказалось, указанного рода явления возможны.
В докладе будет рассмотрен новый метод исследования ветвящихся процессов в случайной среде, в основе которого лежат свойства траекторий случайной среды. Этот подход позволил заменить стандартные условия предельных теорем для ветвящихся процессов в случайной среде значительно более слабыми условиями типа Спитцера для сопровождающих случайных блужданий, доказать ряд новых функциональных предельных теорем и обнаружить новое явление: осцилляцию траекторий ветвящихся процессов в случайной среде при условии невырождения. Следствиями полученных результатов о ветвящихся процессах в случайной среде являются новые теоремы о локальном времени для случайных блужданий в случайной среде.
Теоремы о флуктуациях траекторий не имеют аналогов в классической теории ветвящихся процессов и представляют большой интерес для приложений к теории популяций. Они, в частности, показывают, что эволюция популяции состоит (в рамках рассматриваемой теоретической модели) из череды благоприятных и неблагоприятных этапов. Причем в неблагоприятные промежутки времени в популяции сохраняется лишь небольшое число индивидуумов. Аналог этого явления в реальных популяциях называется бутылочным горлом эволюции.