Основные теоремы теории игр

Как это ни парадоксально, но “сухой математический остаток” от чрезвычайно разросшейся в последние 50–100 лет теории игр составляет сравнительно небольшой объём. В первую очередь это, безусловно, триумфальная теорема Нэша о существовании смешанного равновесия в любой конечной игре. Далее, имеется теорема существования сильного секвенциального равновесия в произвольной динамической игре на конечном дереве. Нельзя также не упомянуть теорему Скарфа из области кооперативной теории игр, а также оптимальный аукцион Майерсона. Немного в сторонке лежит общая теорема существования конкурентного равновесия, доказанная Эрроу и Дебрэ в 1951 году. Практически все эти теоремы (за исключением результата Маерсона) держатся на теореме Какутани о неподвижной точке.
В первой части доклада будет сформулирована и строго доказана (возможно, по модулю совсем уж технических деталей) теорема Нэша – путём сведения к теореме Какутани, последней – к теореме Брауэра и, наконец, последней – к лемме Шпернера. (В качестве побочного любопытного результата будет показано, что теорема Брауэра эквивалентна нетривиальности $n$-й гомотопической группы $n$-мерной сферы.) Во второй части выступления я охарактеризую, с моей точки зрения, перспективы будущего развития теории игр и всей математической экономики, в целом.