Четность в маломерной топологии

В комбинаторной топологии объекты исследования часто представляют собой классы эквивалентности диаграмм (например, диаграмм узлов) по стандартным перестройкам, т.н. движениям. При этом диаграммы могут иметь перекрестки (особенности, узловые точки, вершины). Многие стандартные проблемы такой теории удается решить, если имеется правильный способ разделения всех перекрестков на «четные» и «нечетные», такой что расположение четных и нечетных перекрестков правильно себя ведет при движениях. В частности, это позволяет находить и усиливать многочисленные комбинаторные инварианты, а также сводить вопросы об объектах теории к вопросам об их представителях.
Основным примером такой теории будут виртуальные узлы (узлы в утолщенных двумерных поверхностях с точностью до изотопии и стабилизации), а также их резкое «упрощение» — свободные узлы, т.е. классы эквивалентности гомотопических классов кривых на двумерных поверхностях по некоторму «забывающему» соотношению.
В 2004 году В.Г. Тураевым была высказана гипотеза о тривиальности свободных узлов. С помощью соображений четности автором была не только опровергнута гипотеза Тураева, но и доказано, что свободные узлы имеют нетривиальные классы кобордизмов. Нетривиальность кобордизмов свободных узлов имеет простым следствием существование пары (двумерная поверхность, погруженная в нее кривая), которые не могут быть представлены в виде края пары (трехмерное многообразие, собственный диск в этом многообразии со стандартными особенностями). Новое решение этой задачи, в отличие от исходного (Картер) использует только методы четности и элементарную теорию Морса.
Недавно с помощью аналогичных методов автором и Л.Х. Кауфманом был построен ряд новых инвариантов гомотопических классов кривых на двумерных поверхностях, позволяющих судить о свойствах кривой по свойствам ее диаграммы.
Будут обсуждаться вопросы о переносе методов четности на другие теории и большие размерности. Будет предложен ряд задач исследовательского характера.