Квазиклассическая модель щели Хаббарда в слабо компенсированных полупроводниках

Предложен квазиклассический метод расчета сужения энергетической щели Хаббарда между акцепторными зонами $A^{0}$ и $A^{+}$ в дырочном полупроводнике (или донорными зонами $D^{0}$ и $D^{-}$ в электронном полупроводнике), который определяет явление перехода полупроводника из изоляторного состояния в металлическое при увеличении уровня легирования. Основная (легирующая) примесь может находиться в одном из трех зарядовых состояний (-1, 0, +1), а компенсирующая – в состояниях (+1) или (-1). Распределение примесей по кристаллу предполагается случайным, ширина зон (уровней) Хаббарда – много меньшей ширины щели между ними. Показано, что сужение щели Хаббарда происходит вследствие формирования из возбужденных состояний электрически нейтральных акцепторов (или доноров) квазинепрерывной зоны разрешенных значений энергии для дырок (или электронов). Эта квазинепрерывная зона сливается с потолком валентной зоны ($v$-зоны) для акцепторов (с дном зоны проводимости ($c$-зоны) для доноров), т. е. потолок $v$-зоны для полупроводника $p$-типа проводимости (дно $c$-зоны для полупроводника $n$-типа проводимости) “смещается” в глубь запрещенной зоны. Величина этого смещения определяется максимальным радиусом боровской орбиты возбужденного состояния электрически нейтрального атома основной примеси, не превышающим половины среднего расстояния между ближайшими примесями. Увеличение концентрации легирующей примеси приводит к тому, что оба энергетических уровня Хаббарда становятся более “мелкими”, а щель между ними сужается. Выведены аналитические формулы, описывающие термически активированный прыжковый переход дырок (или электронов) между зонами Хаббарда. Выполненные на их основе расчеты сужения щели при увеличении уровня легирования, проявляющегося в уменьшении величины энергии активации $\varepsilon_{2}$, согласуются с известными экспериментальными данными для слабо компенсированных кристаллов $p$-кремния, легированного бором, и $n$-германия, легированного сурьмой.