Математическая модель несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла

Рассматриваются неустановившиеся движения несжимаемого вязкоупругого континуума Максвелла с постоянным временем релаксации. Так как в несжимаемой сплошной среде давление не является термодинамической переменной, а с точностью до множителя совпадает со следом тензора напряжений, то, выделяя из этого тензора шаровую часть, можно предположить, что оставшаяся часть тензора напряжений имеет нулевой след. В случае несжимаемой среды уравнения для скорости, давления и тензора напряжений образуют замкнутую систему уравнений первого порядка, имеющую как вещественные, так и комплексные характеристики, что осложняет постановку начально-краевых задач. Тем не менее удается доказать разрешимость задачи Коши в классе аналитических функций. В классах функций конечной гладкости установлена однозначная разрешимость линеаризованной задачи. Изучен класс эффективно-одномерных движений, для которых подсистема трех уравнений является гиперболической. Из результатов асимптотического анализа последней следует возможность образования разрывов в процессе эволюции решения. Общая система уравнений движения допускает бесконечномерную псевдогруппу Ли, которая содержит расширенную группу Галилея. С целью получения точных решений задач со свободными поверхностями доказана теорема об инвариантности условий на априори неизвестной свободной границе. В качестве примера приложения этой теоремы рассмотрена задача о деформации вязкоупругой полосы под действием касательных напряжений, приложенных к свободной границе. В этой задаче обнаружен масштабный эффект коротковолновой неустойчивости, вызванный отсутствием диагонального преобладания девиатора тензора напряжений.