Коды, предотвращающие конфликты, и циклические системы троек

Рассматривается задача построения кода максимальной мощности, состоящего из двоичных векторов длины $n$ и веса Хэмминга 3, обладающего следующим свойством: любая матрица размера $3\times n$, строками которой являются циклические сдвиги трех различных кодовых слов, содержит в качестве подматрицы перестановочную матрицу размера $3\times3$. Это свойство (в специальном случае $w=3$) характеризует введенные в [1] коды, предотвращающие конфликты, длины $n$ для $w$ активных пользователей. Использование таких кодов в каналах с асинхронным множественным доступом позволяет каждому из $w$ активных пользователей успешно передать пакет информации по крайней мере один раз из $w$ попыток в течение $n$ последовательных моментов времени без конфликтов с остальными активными пользователями. Доказана верхняя граница на максимальную мощность кода, предотвращающего конфликты, длины $n$ с $w=3$ и приведены конструкции оптимальных кодов, достигающих этой границы. В частности, для $w=3$ найдены коды, предотвращающие конфликты, имеющие намного больше слов, чем коды той же длины, полученные из циклических систем троек Штейнера выбором представителя в каждом циклическом классе.